Введение

Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов.

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.

Уравнение Шредингера и физический смысл его решений

Волновое уравнение Шредингера

Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде

где Н -- оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы в потенциальном поле U(r) оператор действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы

Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.

Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.

Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов

то переход к классическому уравнению Гамильтона--Якоби для функции действия S

можно получить из (1.3) формальным преобразованием

Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования

если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.

Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при волновой функцией

описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.

Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство

указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию *, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим

Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора, получаем (1.5).

Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности)

где является плотностью вероятности, а вектор

можно назвать вектором плотности тока вероятности.

Комплексную волновую функцию всегда можно представить в виде

где и -- действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности

а плотность тока вероятности

Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций, у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций.

Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции состояние системы можно описать двумя вещественными функциями и, удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н -- вещественный, то, подставив в (1.1) функцию и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений

при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид

Волновые функции в импульсном представлении.

Фурье-образ волновой функции характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии. Требуется вывести интегральное уравнение для с Фурье-образом потенциала в качестве ядра.

Решение. Между функциями и имеются два взаимно обратных соотношения.

Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения и применить к нему операцию, то с учетом определения 3-мерной -функции,

в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).

тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь

Предполагая, что волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

Подставляя сюда вместо и соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем

В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной к интегрированию по переменной, а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством. Интеграл по обращается в нуль при любом значении лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда

Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как, где.

Необходимо отметить, что из условия нормировки

следует равенство

Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции:

Если здесь сначала выполнить интегрирование по, то мы без труда получим соотношение (2.8).

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса x , y , z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(4.2)

Уравнение Шредингера Зависящее от времени уравнение Шредингера: где – гамильтониан системы. Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E Следовательно, θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ). Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид: или Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U(): −(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(), где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ().

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2 . Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

где k = (2mE/ћ 2) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E n соответствует волновая функция ψ n (x), которая с учетом условия нормировки

имеет вид

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E < ћ 2 π 2 /(2mL 2). Состояния частицы ψ n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3 . Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

E n = ћω 0 (n + 1/2), n = 0, 1, 2,

(4.13)

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

4.4 . Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

где радиальная функция R nl (r) и угловая функция Y lm (θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2 Y lm (θ,φ) = ћ 2 l (l +1)Y lm (θ,φ)

(4.16)

Y lm (θ,φ) = ћ 2 l (l +1)Y lm (θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y lm (θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R nl (r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R nl (r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r 0 = ћ 2 /m e e 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

4.5 . Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L z являются решением уравнений

2 Y lm (θ,φ) = L 2 Y lm (θ,φ) и z Y lm (θ,φ) = L z Y lm (θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

l = 0	s-состояние
l = 1	p-состояние
l = 2	d-состояние
l = 3	f-состояние
l = 4	g-состояние
l = 5	h-состояние
и. т. д.

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y lm (θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 - 34 Дж·сек.

Пространственное квантование . Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6 . Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

2 = ћ 2 s(s + 1)

(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение . Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s z ћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ,..., ±1/2ћ или 0.

Число s z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7 . Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1,..., |l − s|

Проекция на выделенную ось J z также принимает дискретные значения:

J z = ћj z ; = -j, -j + 1,..., j − 1, j.

Число значений проекции J z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l z и s z , то j z также определена однозначно: j z = l z + s z .

4.8 . Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

n	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1).
L, l	Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
m	Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, s	Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
s z	Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения s z ћ, где s z = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или π	Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → - (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков - отрицательные.
I	Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

• Радиальное квантовое число n (1, 2, …, ∞),
• Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
• Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
• Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

где U 0 , а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j z , однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ -). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

1. Введение

Квантовая теория родилась в 1900 г., когда Макс Планк предложил теоретический вывод о соотношении между температурой тела и испускаемым этим телом излучением - вывод, который долгое время ускользал от других ученых, Как и его предшественники, Планк предположил, что излучение испускают атомные осцилляторы, но при этом считал, что энергия осцилляторов (и, следовательно, испускаемого ими излучения) существует в виде небольших дискретных порций, которые Эйнштейн назвал квантами. Энергия каждого кванта пропорциональна частоте излучения. Хотя выведенная Планком формула вызвала всеобщее восхищение, принятые им допущения оставались непонятными, так как противоречили классической физике.

В 1905 г. Эйнштейн воспользовался квантовой теорией для объяснения некоторых аспектов фотоэлектрического эффекта - испускания электронов поверхностью металла, на которую падает ультрафиолетовое излучение. Попутно Эйнштейн отметил кажущийся парадокс: свет, о котором на протяжении двух столетий было известно, что он распространяется как непрерывные волны, при определенных обстоятельствах может вести себя и как поток частиц.

Примерно через восемь лет Нильс Бор распространил квантовую теорию на атом и объяснил частоты волн, испускаемых атомами, возбужденными в пламени или в электрическом заряде. Эрнест Резерфорд показал, что масса атома почти целиком сосредоточена в центральном ядре, несущем положительный электрический заряд и окруженном на сравнительно больших расстояниях электронами, несущими отрицательный заряд, вследствие чего атом в целом электрически нейтрален. Бор предположил, что электроны могут находиться только на определенных дискретных орбитах, соответствующих различным энергетическим уровням, и что "перескок" электрона с одной орбиты на другую, с меньшей энергией, сопровождается испусканием фотона, энергия которого равна разности энергий двух орбит. Частота, по теории Планка, пропорциональна энергии фотона. Таким образом, модель атома Бора установила связь между различными линиями спектров, характерными для испускающего излучение вещества, и атомной структурой. Несмотря на первоначальный успех, модель атома Бора вскоре потребовала модификаций, чтобы избавиться от расхождений между теорией и экспериментом. Кроме того, квантовая теория на той стадии еще не давала систематической процедуры решения многих квантовых задач.

Новая существенная особенность квантовой теории проявилась в 1924 г., когда де Бройль выдвинул радикальную гипотезу о волновом характере материи: если электромагнитные волны, например свет, иногда ведут себя как частицы (что показал Эйнштейн), то частицы, например электрон при определенных обстоятельствах, могут вести себя как волны. В формулировке де Бройля частота, соответствующая частице, связана с ее энергией, как в случае фотона (частицы света), но предложенное де Бройлем математическое выражение было эквивалентным соотношением между длиной волны, массой частицы и ее скоростью (импульсом). Существование электронных волн было экспериментально доказано в 1927 г. Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в Соединенных Штатах и Джоном-Паджетом Томсоном в Англии.

Под впечатлением от комментариев Эйнштейна по поводу идей де Бройля Шрёдингер предпринял попытку применить волновое описание электронов к построению последовательной квантовой теории, не связанной с неадекватной моделью атома Бора. В известном смысле он намеревался сблизить квантовую теорию с классической физикой, которая накопила немало примеров математического описания волн. Первая попытка, предпринятая Шрёдингер в 1925 г., закончилась неудачей.

Скорости электронов в теории II Шрёдингер были близки к скорости света, что требовало включения в нее специальной теории относительности Эйнштейна и учета предсказываемого ею значительного увеличения массы электрона при очень больших скоростях.

Одной из причин постигшей Шрёдингер неудачи было то, что он не учел наличия специфического свойства электрона, известного ныне под названием спина (вращение электрона вокруг собственной оси наподобие волчка), о котором в то время было мало известно.

Следующую попытку Шрёдингер предпринял в 1926 г. Скорости электронов на этот раз были выбраны им настолько малыми, что необходимость в привлечении теории относительности отпадала сама собой.

Вторая попытка увенчалась выводом волнового уравнения Шрёдингера, дающего математическое описание материи в терминах волновой функции. Шрёдингер назвал свою теорию волновой механикой. Решения волнового уравнения находились в согласии с экспериментальными наблюдениями и оказали глубокое влияние на последующее развитие квантовой теории.

Незадолго до того Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Иордан опубликовали другой вариант квантовой теории, получивший название матричной механики, которая описывала квантовые явления с помощью таблиц наблюдаемых величин. Эти таблицы представляют собой определенным образом упорядоченные математические множества, называемые матрицами, над которыми по известным правилам можно производить различные математические операции. Матричная механика также позволяла достичь согласия с наблюдаемыми экспериментальными данными, но в отличие от волновой механики не содержала никаких конкретных ссылок на пространственные координаты или время. Гейзенберг особенно настаивал на отказе от каких-либо простых наглядных представлений или моделей в пользу только таких свойств, которые могли быть определены из эксперимента.

Шрёдингер показал, что волновая механика и матричная механика математически эквивалентны. Известные ныне под общим названием квантовой механики, эти две теории дали долгожданную общую основу описания квантовых явлений. Многие физики отдавали предпочтение волновой механике, поскольку ее математический аппарат был им более знаком, а ее понятия казались более "физическими"; операции же над матрицами - более громоздкими.

Функция Ψ. Нормировка вероятности.

Обнаружение волновых свойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не может дать правильного описания поведения подобных частиц. Возникла необходимость создать механику микрочастиц, которая учитывала бы также и их волновые свойства. Новая механика, созданная Шрёдингером, Гайзенбергом, Дираком и другими, получила название волновой или квантовой механики.

Плоская волна де Бройля

(1)

является весьма специальным волновым образованием, соответствующим свободному равномерному движению частицы в определенном направлении и с определенным импульсом. Но частица, даже в свободном пространстве и в особенности в силовых полях, может совершать и другие движения, описываемые более сложными волновыми функциями. В этих случаях полное описание состояния частицы в квантовой механике дается не плоской волной де Бройля, а какой-то более сложной комплексной функцией

, зависящей от координат и времени. Она называется волновой функцией. В частном случае свободного движения частицы волновая функция переходит в плоскую волну де Бройля (1). Сама по себе волновая функция вводится как некоторый вспомогательный символ и не относится к числу непосредственно наблюдаемых величин. Но ее знание позволяет статистически предсказывать значения величин, которые получаются экспериментально и потому имеют реальный физический смысл.

Через волновую функцию определяется относительная вероятность обнаружения частицы в различных местах пространства. На этой стадии, когда говорится только об отношениях вероятностей, волновая функция принципиально определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Если во всех точках пространства волновую функцию умножить на одно и то же постоянное (вообще говоря, комплексное) число, отличное от нуля, то получится новая волновая функция, описывающая в точности то же состояние. Не имеет смысла говорить, что Ψ равна нулю во всех точках пространства, ибо такая «волновая функция» никогда не позволяет заключить об относительной вероятности обнаружения частицы в различных местах пространства. Но неопределенность в определении Ψ можно значительно сузить, если от относительной вероятности перейти к абсолютной. Распорядимся неопределенным множителем в функции Ψ так, чтобы величина |Ψ|2dV давала абсолютную вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV. Тогда |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* - комплексно сопряжённая с Ψ функция) будет иметь смысл плотности вероятности, которую следует ожидать при попытке обнаружения частицы в пространстве. При этом Ψ будет определена все еще с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя, модуль которого, однако, равен единице. При таком определении должно быть выполнено условие нормировки:

(2)

где интеграл берется по всему бесконечному пространству. Оно означает, что во всем пространстве частица будет обнаружена с достоверностью. Если интеграл от |Ψ|2 берётся по определённому объёму V1 – мы вычисляем вероятность нахождения частицы в пространстве объёма V1.

Нормировка (2) может оказаться невозможной, если интеграл (2) расходится. Так будет, например, в случае плоской волны де Бройля, когда вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Но такие случаи следует рассматривать как идеализации реальной ситуации, в которой частица не уходит на бесконечность, а вынуждена находиться в ограниченной области пространства. Тогда нормировка не вызывает затруднений.

Итак, непосредственный физический смысл связывается не с самой функцией Ψ, а с ее модулем Ψ*Ψ. Почему же в квантовой теории оперируют с волновыми функциями Ψ, а не непосредственно с экспериментально наблюдаемыми величинами Ψ*Ψ? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества - интерференции и дифракции. Здесь дело обстоит совершенно так же, как во всякой волновой теории. Она (во всяком случае в линейном приближении) принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей и, таким образом, достигает включения в теорию явлений интерференции и дифракции волн. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного из основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций, заключающийся в следующем.

Из статистического толкования волн де Бройля (см. § и соотношения не- определенностей Гейзенберга (см. § 215) следовало, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравне- ние, из которого бы вытекали наблю- даемые на опыте волновые свойства частиц.

Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции так как именно она, или, точнее, величина |Ф|2, определяет вероятность пребывания частицы в мо- мент времени t в объеме dV, в обла- сти с координатами и х + dx, y+dy,

z и Так как искомое уравнениедолжно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, опи- сывающему электромагнитные волны. Основное уравнение нерелятивист- ской квантовоймеханики сформулиро- вано в 1926 г. Э.Шредингером. Урав- нение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравне- ния Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электро- магнитного поля), не выводится, а по- стулируется. Правильность этого урав- нения подтверждается согласием с опы- том получаемых с его помощью резуль- татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение

Шредингера имеет вид

д е -

г масса частицы; А - оператор Лапласа

Мнимаяединица, y,z,t) -

Потенциальная функция частицы в си- ловом поле, в котором она движется; z,t) - искомая волновая функция

Уравнение справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоро- стью, т. е. со скоростью v с. Оно до- полняется условиями, накладываемы- ми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, одно- значной и непрерывной (см. § 216);

2) производные -, -, --, долж-

дх ду

ны быть непрерывны; 3) функция |Ф|2 должна быть интегрируема; это усло- вие в простейших случаях сводится к

Условию нормировки (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно де Бройля, сопостав- ляется Для простоты рассмот- рим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) t) = A cos - илив комплекснойзаписи t)- Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид

(217.2)

(учтено, что - = -). В квантово й

Показатель экспоненты берут со знаком « - », поскольку физический смысл имеет только |Ф|2, то это несуществен- но. Тогда

Используя взаимосвязь между энерги- ей Е и импульсом = --) и подставляя

выражения (217.3), получим дифференци- альное уравнение

которое совпадает с уравнением для случая U- О (мы рассматривали свободную частицу).

Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энерги- ей U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и ис- пользуя взаимосвязь между ("для

Случая = Е -U), придем к диффе- ренциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не долж- ны восприниматься как вывод уравне- ния Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравне- ния Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость времени, иными словами, найти урав- нение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксирован- ными значениями энергии. Это возмож- но, если силовое поле, в котором час- тица движется, стационарно, т. е. функ- ция U= z) не зависит явно от вре- мени и имеет смысл потенциальной энергии.

В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выража-

Ется множителем е" = е, так что

(217.4)

где Е - полная энергия частицы, посто- янная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

Откуда после деления па общий множи- тель е соответствующих преобра-

зовании придем к уравнению, опреде- ляющему функцию

Уравнение урав-

нением Шредингера для стационар- ных состояний. В это уравнение в ка- честве параметра входит полная энер- гия Е частицы. В теории дифференци- альных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчислен- ное множество решений, из которых по- средством наложения граничных усло- вий отбирают решения, имеющие фи- зический

Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регуляр- ности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, од- нозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными.

Таким образом, реальный физичес- кий смысл имеют только такие реше- ния, которые выражаются регулярны- ми функциями Но регулярные реше- ния имеют место не при любых значе- ниях параметра Е, а лишь при опреде- ленном их наборе, характерном для дан- ной задачи. Эти значения энергии на- зываются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются соб- ственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как не- прерывный, так и дискретный ряд. В пер- вом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дис- кретном спектре.

§ 218. Принцип причинности в квантовой механике

Из соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимости

принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображе- ниях. В классической механике, соглас- но принципупричинности- принци- пу классического детерминизма, по известному состоянию системы в неко- торый момент времени (полностью оп- ределяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и си- лам, приложенным к ней, можно абсо- лютно точно задать ее состояние в лю- бой последующий момент. Следова- тельно, классическая физика основыва- ется на следующем понимании причин- ности: состояние механической систе- мы в начальный момент времени с из- вестным законом взаимодействия час- тиц есть причина, а ее состояние в пос- момент - следствие.

С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и опреде- ленную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса [задаются соотношением неопределен- ностей поэтому и делается вы- вод о том, что в начальный момент вре- мени состояние системы точно не оп- ределяется. Если же состояние системы не определенно в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. наруша- ется принцип причинности.

Однако никакого нарушения прин- ципа причинности применительно к микрообъектам не наблюдается, по- скольку в квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в класси- ческой механике. В квантовой меха- нике состояние микрообъекта полнос- тью определяется волновой функцией квадрат модуля которой

2 задает плотность вероятно- сти нахождения частицы в точке с ко- ординатами х, у, z.

В свою очередь, волновая функция удовлетворяет уравнению

Шредингера содержащему пер- вую производную функции Ф по време- ни. Это же означает, что задание функ- ции (для момента времени опре- деляет ее значение в последующие мо- менты. Следовательно, в квантовой ме- ханике начальное состояние есть причина, а состояние Ф в последующий момент - следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т.е. задание функции пре- допределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким обра- зом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшествую- щего состояния, как того требует прин- цип причинности.

§219. Движение свободной частицы

Свободнаячастица - частица,дви- жущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную (пусть она движется вдоль оси х) силы не дей- ствуют, то потенциальная энергия час- тицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия ча- стицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний примет вид

(219.1)

Прямой подстановкой можно убе- диться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция - где А = const и к = const, с собственным значением энергии

Функция = = представляет собой только координат- ную часть волновой функции Поэтому зависящая от времени волно- вая функция, согласно (217.4),

(219.3) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [см. (217.2)].

Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса

оказывается обычной для нерелятиви- стских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое чис- ло к может принимать любые положи- тельные значения), т. е. энергетический спектр свободной частицы является непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохро- матической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от време- ни плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероят- ными.

§ 220. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими

«стенками»

Проведем качественный анализ ре- шений уравнения Шредингера приме-

Рис. 299

(220.4)

нительно к частице в одномерной пря- моугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Та- кая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принима- ем, что частица движется вдоль оси х)

где ширина «ямы», а энергия отсчи- тывается от ее дна (рис. 299).

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одно- мерной задачи запишется в виде

По условию задачи (бесконечно вы- сокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и вол- новая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х- 0 и х = непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные усло- вия в данном случае имеют вид

В пределах «ямы» (0 х урав- нение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

Общее решение дифференциально- го уравнения (220.3):

Так как по (220.2) = 0, то В = 0.

(220.5)

Условие (220.2) = 0 выполняется только при где п - целые числа, т. е. необходимо, чтобы

Из выражений (220.4) и (220.6) сле- дует,

т. е. стационарное уравнение Шредин- гера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяет- ся только при собственных значени- ях зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия частицы в

«потенциальной яме» с бесконечно вы- сокими «стенками» принимает лишь определенныедискретныезначения, т.е. квантуется.

Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а чис- ло п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определен- ном энергетическом уровне или, как говорят, частица находится в квантовом

Подставив в (220.5) значение к из (220.6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А най- дем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования полу-

А - а собственные функции будут иметь вид

I рафики собственных функции (220.8), соответствующие уровням

энергии (220.7) при п=1,2, 3, приведе- ны на рис. 300, а. На рис. 300, б изобра- жена плотность вероятности обнаруже- ния частицы на различных расстояни- ях от «стенок» ямы, равная =

Для п= 1, 2 и 3. Из рисун- ка следует, что, например, в квантовом состоянии с п = 2 частица не может на- ходиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое пове- дение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны. Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя

Соседними уровнями равен

Например, для электрона при раз- мерах ямы - 10"1 м (свободные элек-

Троны в металле) 10 Дж

Т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерыв- ным. Если же размеры ямы соизмери- мы с атомными м), то для электрона Дж эВ, т.е. получаются явно дискретные зна- чения энергии (линейчатый спектр).

Таким образом, применение уравне- ния Шредингера к частице в «потенци- альной яме» с бесконечно высокими

«стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как клас- сическая механика на энергию этой ча- стицы никаких ограничений не накла- дывает.

Кроме того,

Рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциаль- ной яме» с бесконечно высокими «стен- ками» не может иметь энергию меньше

Минимальной, равной [см. (220.7)].

Наличие отличной от нуля мини- мальной энергии не случайно и выте- кает из соотношения неопределеннос- тей. Неопределенность координаты Ах частицы в «яме» шириной Ах= Тогда, согласно соотношению неопре- деленностей импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса

Такому разбросу значений

импульса соответствует кинетическая энергия

Все остальные уровни (п > 1) име- ют энергию, превышающую это мини- мальное значение.

Из формул (220.9) и (220.7) следу- ет, что при больших квантовых числах

т. е. соседние уровни расположены тес- но: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последова- тельности уровней и характерная осо- бенность квантовых процессов - диск- ретность - сглаживается. Этот резуль- тат является частным случаем принци- па соответствия Бора (1923), соглас- но которому законы квантовой механи- ки должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полнос- тью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее примене- ния, причем в определенных предель- ных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относи- тельности переходят при v с в форму- лы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза да Бройля приписывает вол- новые свойства всем телам, но в тех слу- чаях, когда мы имеем дело с макроско- пическими телами, их волновыми свой- ствами можно пренебречь, т.е. приме- нять классическую механику Ньютона.

§ 221. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.

Туннельный эффект

простейший потенци- альный барьер прямоугольной формы (рис. для одномерного (по оси движения частицы. Для потенциально- го барьера прямоугольной формы вы- сотой шириной /можем записать

При данных условиях задачи клас- сическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над ба- рьером (при Е > U), либо отразится от него (при Е < U) будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микро- частицы, даже при Е > U, имеется от- личная от нуля вероятность, что части- ца отразится от барьера и будет двигать- ся в обратную сторону. При Е име- ется также отличная от нуля вероят- ность, что частица окажется в области х> т.е. проникнет сквозь барьер. По- добные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, опи-

412

сывающего движение микрочастицы при условиях данной задачи.

Уравнение (217.5) для стационарных состояний для каждой из выделенных рис. 301, а области име- ет

(для областей

(для области

Общие решения этих дифференци- альных уравнений:

Решение (221.3) содержит также волны (после умножения на временной множитель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 име- ется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент формуле (221.3) следует принять рав- ным нулю.

В области 2 решение зависит от со- отношений E>U или Е Физичес- кий интерес представляет случай, ког- да полная энергия частицы меньше вы- соты потенциального барьера, посколь- ку при Е законы классической фи- зики однозначно не разрешают части- це проникнуть сквозь барьер. В данном случае, согласно q = - мни- мое число, где

(для области

(для области 2);

Значение q и 0, полу- чим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

(для области 3).

В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (217.4), будет иметь вид

В этом выражении первое слагаемое представляет собой плоскую волну типа (219.3), распространяющуюся в положительном направлении оси х (со- ответствует частице, движущейся в сто- рону барьера), а второе - волну, рас- пространяющуюся в противоположном направлении, т. е. отраженную от барь- ера (соответствует частице, движущей- ся от барьера налево).

(для области 3).

В области 2 функция уже не соответствует плоским волнам, распро- страняющимся в обе стороны, посколь- ку показатели степени экспонент не мнимые, а действительные. Можно по- казать, что для частного случая высо- кого и широкого барьера, когда 1,

Качественный характер функций и иллюстрируется на рис. 301, откуда следует, что волно-

Функция не равна нулю и внутри ба- рьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей ампли- тудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нуля веро- ятность прохождения сквозь потенци- альный барьер конечной ширины.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому спе- цифическому квантовому явлению, по- лучившему название туннельного эф- фекта, в результате которого микро- объект может «пройти» сквозь потен- циальный барьер. через Совместное решение уравнений для прямоугольного потенциального барьера дает (в предпо- ложении, что коэффициент прозрачно- сти мал по сравнению с единицей)

где - постоянный множитель, кото- рый можно приравнять единице; U - высота потенциального барьера; Е - энергия частицы; - ширина барьера.

Из выражения (221.7) следует, что D сильно зависит от массы т частицы, ширины / барьера и от (U - чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произ- вольной формы (рис. 302), удовлетво- ряющей условиям так называемого ква- зиклассического приближения (доста- точно гладкая форма кривой), имеем

где U= U(x).

С классической точки зрения про- хождение частицы сквозь потенциаль- ный барьер при Е невозможно, так как частица, находясь в области барье- ра, должна была бы обладать отрица- тельной кинетической энергией. Тун- нельный эффект является специфиче- ским квантовым эффектом.

Прохождение частицы сквозь об- ласть, в которую, согласно законам клас- сической механики, она не может про- никнуть, можно пояснить соотношени- ем неопределенностей. Неопределен- ность импульса Ар на отрезке Ах = со- ставляет Ар > -. Связанная с этим раз- бросом в значениях импульса кинети-

302

Ческая энергия может оказаться

достаточной для того, чтобы полная

энергия частицы оказалась больше по- тенциальной.

Основы теории туннельных перехо- дов заложены в работах Л. И. Мандель- штама

Туннельное прохождение сквозь потен- циальный барьер лежит в основе мно- гих явлений физики твердого тела (на- пример, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атом- ной и ядерной физики (например, распад, протекание термоядерных реак- ций).

§ 222. Линейный гармонический осциллятор

В квантовой механике

Линейный гармонический осцил- лятор - система, совершающая одно- мерное движение под действием квази- упругой силы, - является моделью, ис- пользуемой во многих задачах класси- ческой и квантовой теории (см. § 142). Пружинный, физический и математи- ческий маятники - примеры класси- ческих гармонических осцилляторов.

Потенциальная энергия гармони- ческого осциллятора [см. (141.5)] равна

Где - собственная частота колебаний осциллятора; т - масса частицы.

Зависимость (222.1) имеет вид пара- болы (рис. 303), т.е. «потенциальная яма» в данном случае является парабо- лической.

Амплитуда малых колебаний клас- сического осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 17).

дингера учитывающим выраже- ние (222.1) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния кванто- вого осциллятора определяются урав- нением Шредингера вида

= 0, (222.2)

где Е - полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных урав-

нений доказывается, что уравнение (222.2) решается только при собствен- ных значениях энергии

(222.3)

Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора может

иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется. Энергия ограничена сни- зу отличным от нуля, как и для прямо- угольной «ямы» с бесконечно высоки- ми «стенками» (см. § 220), минималь- ным значением энергии = Су-

ществование минимальной энергии - она называется энергией нулевых ко- лебаний - является типичной для кван- товых систем и представляет собой пря- мое следствие соотношения неопреде- ленностей.

Наличие нулевых колебаний означа- ет, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы» (независимо от формы ямы). В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопреде- ленность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в

«потенциальной яме».

Вывод о наличии энергии нулевых колебаний квантового осциллятора про- тиворечит выводам классической тео- рии, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осцил- лятор, равна нулю (соответствует поко- ящейся в положении равновесия части- це). Например, согласно выводам клас- сической физики при Т = 0 энергия колебательного движения атомов кри- сталла должна была бы обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное коле- баниями атомов. Однако эксперимент показывает, что интенсивность рассея- ния света при понижении температуры не равна нулю, а стремится к некоторо- му предельному значению, указываю- щему на то, что при Т 0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это является подтверждением наличия нулевых колебаний.

Из формулы (222.3) также следует, что уровни энергии линейного гармо- нического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (см. рис. 303), а именно расстоя- ние между соседними энергетическими уровнями равно причем минималь- ное значение энергии =

Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к одному значительному отличию от классиче

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны - они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики - и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) - в такой передаче энергии участвуют частицы - или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа - корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений - волновыми уравнениями. Все без исключения волны - волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик - описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу - в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное - примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где - расстояние, - постоянная Планка , а , и - соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера - Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий - то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч - это частица, звук - это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле - и эксперименты это вскоре показали - в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, - яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».

Джеймс Трефил - профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.

Комментарии: 0

Макс Планк - один из основоположников квантовой механики - пришел к идеям квантования энергии, пытаясь теоретически объяснить процесс взаимодействия между недавно открытыми электромагнитными волнами и атомами и, тем самым, разрешить проблему излучения черного тела. Он понял, что для объяснения наблюдаемого спектра излучения атомов нужно принять за данность, что атомы излучают и поглощают энергию порциями (которые ученый назвал квантами) и лишь на отдельных волновых частотах.

Абсолютно черное тело, полностью поглощающее электромагнитное излучение любой частоты, при нагревании излучает энергию в виде волн, равномерно распределенных по всему спектру частот.

Слово «квант» происходит от латинского quantum («сколько, как много») и английского quantum («количество, порция, квант»). «Механикой» издавна принято называть науку о движении материи. Соответственно, термин «квантовая механика» означает науку о движении материи порциями (или, выражаясь современным научным языком науку о движении квантующейся материи). Термин «квант» ввел в обиход немецкий физик Макс Планк для описания взаимодействия света с атомами.

Один из фактов субатомного мира заключается в том, что его объекты - такие как электроны или фотоны - совсем не похожи на привычные объекты макромира. Они ведут себя и не как частицы, и не как волны, а как совершенно особые образования, проявляющие и волновые, и корпускулярные свойства в зависимости от обстоятельств. Одно дело - это заявить, и совсем другое - связать воедино волновые и корпускулярные аспекты поведения квантовых частиц, описав их точным уравнением. Именно это и было сделано в соотношении де Бройля.

В повседневной жизни имеется два способа переноса энергии в пространстве - посредством частиц или волн. В обыденной жизни между двумя механизмами передачи энергии видимых противоречий не наблюдается. Так, баскетбольный мяч - это частица, а звук - это волна, и всё ясно. Однако в квантовой механике всё обстоит отнюдь не так просто. Даже из простейших опытов с квантовыми объектами очень скоро становится понятно, что в микромире привычные нам принципы и законы макромира не действуют. Свет, который мы привыкли считать волной, порой ведет себя так, будто состоит из потока частиц (фотонов), а элементарные частицы, такие как электрон или даже массивный протон, нередко проявляют свойства волны.

Больше всего Эйнштейн протестовал против необходимости описывать явления микромира в терминах вероятностей и волновых функций, а не с привычной позиции координат и скоростей частиц. Вот что он имел в виду под «игрой в кости». Он признавал, что описание движения электронов через их скорости и координаты противоречит принципу неопределенности. Но, утверждал Эйнштейн, должны существовать еще какие-то переменные или параметры, с учетом которых квантово-механическая картина микромира вернется на путь целостности и детерминизма. То есть, настаивал он, нам только кажется, будто Бог играет с нами в кости, потому что мы не всё понимаем. Тем самым он первым сформулировал гипотезу скрытой переменной в уравнениях квантовой механики. Она состоит в том, что на самом деле электроны имеют фиксированные координаты и скорость, подобно ньютоновским бильярдным шарам, а принцип неопределенности и вероятностный подход к их определению в рамках квантовой механики - результат неполноты самой теории, из-за чего она и не позволяет их доподлинно определить.

Юлия Зотова

Вы узнаете: Какие технологии называются квантовыми и почему. В чем преимущество квантовых технологий перед классическими. Что может и что не может квантовый компьютер. Как физики делают квантовый компьютер. Когда он будет создан.

Французский физик Пьер Симон Лаплас поставил важный вопрос, о том, всё ли в мире предопределено предыдущим состоянием мира, либо же причина может вызвать несколько следствий. Как и предполагается философской традицией сам Лаплас в своей книге «Изложение системы мира» не задавал никаких вопросов, а сказал уже готовый ответ о том, что да, всё в мире предопределено, однако как часто и случается в философии предложенная Лапласом картина мира не убедила всех и тем самым его ответ породил дискуссию вокруг того вопроса, которая продолжается и по сей день. Несмотря на мнение некоторых философов от том, что квантовая механика разрешила данный вопрос в пользу вероятностного подхода, тем не менее, теория Лапласа о полной предопределенности или как её иначе называют теория лапласовского детерминизма обсуждаема и сегодня.

Гордей Лесовик

Некоторое время назад мы с группой соавторов начали выводить второй закон термодинамики с точки зрения квантовой механики. Например, в одной из его формулировок, гласящей, что энтропия замкнутой системы не убывает, типично растет, а иногда остается постоянной, если система энергетически изолирована. Используя известные результаты квантовой теории информации, мы вывели некоторые условия, при которых это утверждение справедливо. Неожиданно выяснилось, что эти условия не совпадают с условием энергетической изолированности систем.

Профессор физики Джим Аль-Халили исследует наиболее точную и одну из самых запутанных научных теорий - квантовую физику. В начале 20-го века учёные проникли в скрытые глубины материи, в субатомные строительные блоки мира вокруг нас. Они обнаружили явления, которые отличаются от всего увиденного ранее. Мир, где всё может находится во многих местах одновременно, где действительность по-настоящему существует, лишь когда мы наблюдаем за ней. Альберт Эйнштейн противился одной только мысли о том, что в основе сущности природы лежит случайность. Квантовая физика подразумевает, что субатомные частицы могут взаимодействовать быстрее скорости света, а это противоречит его теории относительности.